Вычислим следующий определенный интеграл используя формулу Ньютона - Лейбница:
\[\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\frac{\sin x\,dx}{\cos^2 x + 1}.\]

Решение. Произведем замену переменной \(x\) на переменную \(t\) следующим образом:

\[
{t = \cos x,}\;\;
{\Rightarrow dt = -\sin xdx,}\;\;
{\Rightarrow \sin xdx = -dt.}
\]

Отсюда,

\[
{x = \frac{\pi}{2},}\;\;
{\Rightarrow t = \cos\frac{\pi}{2} = 0.}
\]

\[
{x = \pi,}\;\;
{\Rightarrow t = \cos\pi = -1.}
\]

\[{\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\frac{\sin x\,dx}{\cos^2 x + 1}}
= {-\int\limits_{0}^{-1} {\frac{dt}{t^2 + 1}}  }
= {\int\limits^{0}_{-1} {\frac{dt}{t^2 + 1}}  } = \\
= arctg(t)\Bigr|^{0}_{-1} = { arctg(0) - arctg(-1) }= { 0 + arctg(1) }= {\frac{\pi}{4}}.\]